多元统计分析

　　多元统计分析是经典统计学发展起来的一个分支，是一种多指标（也称多变量）综合分析方法，可以在多指标相互关联情况下分析其统计规律，在研究经济社会现象中具有广泛应用。

　　在研究经济社会现象时，会收集大量个体的多方面信息，特别是随着信息化发展，采集到个体数量和指标数量大为增加，比如网上商品交易系统采集到的信息涉及的用户数以亿计，指标数量成百上千，这些都增加了分析的难度。对这些规模宏大、复杂难辨的信息进行提炼简化，提取重要信息辅助决策，是多元统计分析的重要应用领域。同时，经济社会现象间往往存在紧密的联系，表现为统计指标之间存在相关性、因果关系等，使用多元统计分析有助于研究统计指标间的内在联系，发现经济社会现象的内在规律性。

　　在实际观测和调查中，统计指标的取值一般是随机的，因此统计指标可以用随机变量来表示，那么多个统计指标对应多个随机变量。而多个随机变量组成的数据集合称为随机向量，随机向量服从一定的统计分布，这是多元统计分析方法建立的重要基础。

　　多元统计分析方法按照分析特点大致可以分为两类：一是描述性方法，主要从原始数据中提取重要信息，对系统主要特征进行研究，包括主成分分析、因子分析、聚类分析、对应分析等。二是解析性方法，主要是研究变量间相关关系、因果关系等，通过建立模型对变量间的关系认识定量化，包括多元回归分析、判别分析、典型相关分析等。

描述性方法

　　1.主成分分析

　　在研究多指标（变量）问题时，由于指标间存在一定相关性，导致信息冗余，增加分析的难度。对此，主成分分析通过将原有的多个变量进行线性变换，组合成几个较少新的相互无相关性的综合变量，尽可能提取原有变量信息，达到指标简化目的。比如，在进行地区发展综合评价时，往往会选取经济增长、科技创新、人民生活、生态环境等多项指标，而这些指标往往存在相关性，通过主成分分析将这些指标简化为一到两个综合指标，将有助于降低综合评价难度。

　　2.因子分析

　　因子分析是主成分分析的推广，将具有复杂关系的多变量转化为数量较少的几个综合变量，从而用有限个不可观测的隐变量来解释原始变量间相关关系。比如，在研究人体交感神经和副交感神经对人体的影响时，通常采集收缩压、舒张压、心跳间隔、呼吸间隔、舌下温度5个指标，通过因子分析可以将这5个指标综合为两个隐变量指标，从而反映交感神经和副交感神经的影响，找到其与原始5个指标的联系。

　　3.聚类分析

　　聚类分析是将具有相似特征的个体归为一类，从而使同类的个体相似性较高，而不同类的个体之间差异较大。衡量个体之间相似性采用“距离”测度和相似系数，常用的“距离”测度有明式距离、马氏距离、兰氏距离，常用的相似系数有夹角余弦、相关系数。聚类分析中常用的方法有系统聚类、动态聚类等。比如，对全国省区市经济类型进行分类时，一般会选取一些的经济指标，然后利用这些经济指标计算地区与地区之间的“距离”，将“距离”近的地区归为一类，将“距离”远的地区归为不同类别，从而形成不同地区经济发展水平类别，深化对地区经济的认识。

解析性方法

　　1.多元回归分析

　　多元回归分析是研究一个因变量与多个解释变量之间相互依存关系，揭示因变量与解释变量间的数量关系，从而对因变量进行估计或预测。比如，在预测长期经济增长趋势时，通常使用国内生产总值作为因变量，资本存量、就业人数、人力资本存量、制度变量等作为自变量，利用多元回归方法建立经济增长与相关因素的定量模型，利用得到的模型关系对未来经济增长趋势进行预测。

　　2.判别分析

　　判别分析是判别观察个体所属类别的一种统计分析方法，它是在已知观察个体分为若干个类别的条件下，通过建立判别规则，对观察个体进行判别分类。它与聚类分析最大不同是，聚类分析事先不知道观察个体有多少个类别，而判别分析事先已知观察个体的类别个数。常用的判别分析法有距离判别法、费舍尔判别法、贝叶斯判别法等。比如，世界银行将全球国家划分为高收入国家、中高收入国家、中低收入国家、低收入国家四种类型，当判断一个国家属于哪种类型时，可以使用判别分析方法建立规则进行判别。

　　为分析中国经济增长的驱动因素及其影响，基于柯布—道格拉斯生产函数，建立多元回归测算模型：

　　其中，Y、K、L分别为总产出、资本投入、劳动投入，r为技术进步率、t为时间，α、β分别为资本投入、劳动投入的弹性。假定技术进步率不为常数，将其设定为：其中和分别和为第二产业和第三产业就业人员比例，带入上述生产函数，并假定规模报酬不变，即α+β=1，可以得到：

　　记Y/L=y，K/L=k，取对数后对公式两边进行变换，可以得到：

　　考虑到变量非平稳性，对上式两边进行差分后回归测算，使用1978—2013年我国的国内生产总值、资本存量和就业人数等数据得到：

　　多元回归检验结果表明，回归效果较好，上述模型能够满足分析经济产出、资本投入、劳动投入之间关系的需要。从回归结果来看，人均资本存量的提高有利于人均经济产出的增长。